一般相対論で使うあれこれ - いなりずし始めました

添字がややこしくて混乱しそうなのでお勉強するときにそばに置いておくために作った。定義とかは全部Winbergの"Gravitation and Cosmology"で書いてたやつ。 $\xi ^{mu}$ は自由落下系、または局所慣性系で、 $x^{\mu}$ は一般の座標系。[tex:{ \displaystyle \eta _{\alpha \beta} }]はミンコフスキー計量。

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↑はてなで書いたらなんか上手く出力できなくて飽きたのでtexで書いたの貼り付け。証明はそこら辺の相対論の本参照で。

アフィン接続、クリストッフェル記号(The affine connection, Christoffel symbol)

$\Gamma ^{\lambda}_{\mu \nu} \equiv \frac{\partial x^{\lambda}}{\partial \xi ^{\alpha}}\frac{\partial ^2 \xi ^{\alpha}}{\partial x^{\mu} \partial x^{\nu}}$

計量テンソル(Metric tensor)

$g_{\mu \nu} \equiv \frac{\partial \xi^{\alpha}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial \xi ^{\beta}}{\partial x^{\nu}} \eta _{\alpha \beta}$

計量テンソルの微分

$\frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^{\lambda}} = \Gamma ^{\rho} _{\lambda \nu} g_{\rho \nu} + \Gamma ^{\rho}_{\lambda \nu} g_{ro \mu}$

アフィン接続を計量テンソルを用いて表す。

$\Gamma ^{\sigma}_{\lambda \mu} = \frac{1}{2} g^{\nu \sigma}\{ \frac{\partial g_{\mu \nu}}{\partial x^{\lambda}} + \frac{\partial g_{\lambda \nu}}{\partial x^{\mu}} - \frac{\partial g_{\mu \lambda}}{\partial x^{\nu}}\}$

測地線(Geodesics)

$\frac{d^2 x^{\nu}}{d \tau ^2} + \Gamma ^{\nu}_{\mu \sigma}\frac{dx^{\mu}}{d\tau}\frac{dx^{\sigma}}{d\tau} =0$

レヴィ・チビタテンソル(Levi-Civita tensor)の変換

$\frac{\partial {x'}^{\rho}}{\partial x^{\mu}}\frac{\partial {x'}^{\sigma}}{\partial x^{\nu}}\frac{\partial {x'}^{\eta}}{\partial x^{\lambda}}\frac{\partial {x'}^{\xi}}{\partial x^{\kappa}} \epsilon ^{\mu \nu \lambda \kappa} = \begin{vmatrix}\frac{\partial x'}{\partial x}\end{vmatrix}\epsilon ^{\rho \sigma \eta \xi}$

アフィン接続のたまに使う変換

${\Gamma '} ^{\lambda} _{\mu \nu} = \frac{\partial {x'}^{\lambda}}{\partial x^{\rho}}\frac{\partial x^{\tau}}{\partial {x'}^{\mu}}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial {x'}^{\nu}}\Gamma ^{\rho} _{\tau \sigma} - \frac{\partial x^{\rho}}{\partial {x'}^{\nu}}\frac{\partial x^{\sigma}}{\partial {x'}^{\mu}}\frac{\partial ^2 {x'}^{\lambda}}{\partial x^{\rho} \partial x^{\sigma}}$

反変ベクトル(Contravariant vector)の共変微分(Covariant derivative)

$V^{\mu} _{\ ; \lambda} = \frac{\partial V^{\mu}}{\partial x^{\nu}} + \Gamma ^{\mu} _{\lambda \kappa} V^{\kappa}$

共変ベクトル(Covariant vector)の共変微分

$V_{\mu ; \nu} = \frac{\partial V_{\mu}}{\partial x^{\nu}} - \Gamma ^{\lambda} _{\mu \nu} V^{\lambda}$

例) $T^{\mu \sigma} _{\ \ \lambda}$ っていうテンソルの共変微分

[tex:{ \displaystyle T^{\mu \sigma} _{\ \ \lambda ;\rho} = \frac{\partial}{\partial x^{\rho}} T^{\mu \sigma} _{\ \ \rho} + \Gamma ^{\mu} _{\rho \nu}

T^{\nu \sigma} _{\ \ \lambda} + \Gamma ^{\sigma} _{\rho \nu} T^{\mu \nu} _{\ \ \lambda} - \Gamma ^{\kappa} _{\lambda \rho} T^{\mu \sigma} _{\ \ \kappa} }]

テンソル密度の共変微分(例として $\mathscr{P} ^{\mu} _{\ \lambda}$)$ )

$\mathscr{P} ^{\mu} _{\ \lambda ;\rho} = \frac{\partial}{\partial x^{\rho}} \mathscr{P} ^{\mu} _{\ \lambda} + \Gamma ^{\mu} _ {\rho \nu} \mathscr{P} ^{\nu} _{\ \lambda} - \Gamma ^{\kappa} _ {\lambda \rho} \mathscr{P} ^{\mu} _{\ \kappa} + \frac{W}{2g}\frac{\partial g}{\partial x^{\rho}} \mathscr{P} ^{\mu} _{\ \lambda}$

Gradient $S$ をスカラーとして、

[tex:{ \displaystyle S_{;\mu} = \frac{\partial

S}{\partial x^{\mu}} }]

Covariant rotation

$V_{\mu ;\nu} - V_{\nu ;\mu} = \frac{\partial V_{\mu}}{\partial x^{\nu}} - \frac{\partial V_{\nu}}{\partial x^{\mu}}$

Covariant divergence

$\Gamma ^{\mu} _{\mu \lambda} = \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial x^{\lambda}}\log g = \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^{\lambda}}\sqrt{g}$

を使って、

$V^{\mu}_{\ ;\mu} &= \frac{\partial V^{\mu}}{\partial x^{\mu}} + \Gamma ^{\mu} _{\mu \lambda}V^{\lambda} = \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\sqrt{g}$

ガウスの定理（もし、 $V^{\mu}$ が無限遠で0になるならば）

[tex:{ \displaystyle \int d^4x\sq

rt{g}V^{\mu}_{\ ;\mu} = 0 }]

$A^{\mu \nu}, \ A_{\mu \nu}$ が反対称テンソルならば、

$A^{\mu \nu}_{;\mu} = \frac{1}{\sqrt{g}}\frac{\partial}{\partial x^{\mu}}(\sqrt{g} A^{\mu \nu})$

$A_{\mu \nu ;\lambda} +A_{\lambda \mu ;\nu} + A_{\nu \lambda ;\mu} = \frac{\partial A_{\mu \nu}}{\partial x^{\lambda}} + \frac{\partial A_{\lambda \mu}}{\partial x^{\nu}} + \frac{\partial A_{\nu \lambda}}{\partial x^{\mu}}$

曲線に沿った共変微分（共変ベクトルについては第二項にマイナスがつくだけ）

$\frac{DA^{\mu}}{D\tau} = \frac{dA^{\mu}}{d\tau} + \Gamma ^{\mu}_{\nu \lambda}\frac{dx^{\lambda}}{d\tau}A^{\nu}$

さっきの $A^{\mu}$ が曲線にそって動いても変わらない時、平行移動の方程式（parallel transport）

$\frac{dA^{\mu}}{d\tau} = - \Gamma ^{\mu}_{\nu \lambda}\frac{dx^{\lambda}}{d\tau}A^{\nu}$

マクスウェル方程式

[tex:{ \displaystyle \frac{\partial}{\partial x^{\mu}}\sqrt{g} F^{\mu \nu} = -\sqrt{g}J^{\nu}

\frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}F_{\beta \gamma} + \frac{\partial}{\partial x^{\beta}}F_{\gamma \alpha} + \frac{\partial}{\partial x^{\gamma}}F_{\alpha \beta} }]

Energy-Momentum Tensor

$T^{\mu \nu} = g^{-\frac{1}{2}}\sum_{n}m_n\int \frac{dx_{n}^{\alpha}}{d\tau}dx_{n}^{\alpha}\delta ^4(x - x_n)$

リーマンの曲率テンソル（Riemann-Christoffel curvature tensor）

$R^{\lambda}_{\ \mu \nu \kappa} \equiv \frac{\partial \Gamma ^{\lambda}_{\mu \nu}}{\partial x^{\kappa}} - \frac{\partial \Gamma ^{\lambda}_{\mu \kappa}}{\partial x^{\nu}} + \Gamma ^{\eta}_{\mu \nu}\Gamma ^{\lambda}_{\kappa \eta} - \Gamma ^{\eta}_{\mu \kappa}\Gamma ^{\lambda}_{\nu \eta}$

なんか役立ちそう

[tex:{ \displaystyle V_{\mu ;\nu ;\kappa} - V_{\mu ;\kappa ;\nu} = -V_{\sigma}R^{\sigma}_{\ \mu \nu \kappa}

\end{equation} }]

$V^{\lambda ;\nu ;\kappa} - V_{\lambda ;\kappa ;\nu} = V^{\sigma}R^{\lambda}_{\ \sigma \nu \kappa}$

Ricci tensor（対称テンソルです）

$R_{\mu \nu} = R^{\lambda}_{\ \mu \lambda \kappa}$

Curvature scalar

$R = g^{\mu \kappa} R_{\mu \kappa}$

曲率テンソルの添字を下げると

[tex:{ \displaystyle

R_{\lambda \mu \nu \kappa} = \frac{1}{2}\Bigl\{ \frac{\partial ^2 g_{\lambda \nu}}{\partial x^{\kappa} \partial x^{\mu}} - \frac{\partial ^2 g_{\mu \nu}}{\partial x^{\kappa} \partial x^{\lambda}} - \frac{\partial ^2 g_{\lambda \kappa}}{\partial x^{\nu} \partial x^{\mu}} + \frac{\partial ^2 g_{\mu \kappa}}{\partial x^{\nu} \partial x^{\lambda}} \Bigr\} + g_{\eta \sigma} (\Gamma ^{\eta}_{\nu \lambda}\Gamma ^{\sigma}_{\mu \lambda} - \Gamma ^{\eta}_{\kappa \lambda}\Gamma ^{\sigma}_{\mu \nu}) }]